对数函数的导数(数学对数函数求导的推导过程)
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2023-10-25
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1. 对数函数的导数,数学对数函数求导的推导过程?
用的是极限中的一个结论:x趋近于0时ln(1+x)和x是等价无穷小
。
h趋近于0时,ln(1+h/x)和h/x是等价无穷小。
例如:
对数函数
的推导需要利用反函数
的求导法则
指数函数
的求导,定义法:
f(x)=a^x
f'(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x).........
(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h
=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h
=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]
=1/xIna
实数域
在实数域中,真数
式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数
),底数
则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1,在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)。
2. x为底数的对数函数怎么求导?
x为底数时对数求导公式:
(Inx)'=1/x(ln为自然对数);(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。
对数函数求导的方法
1、利用反函数求导:设y=loga(x)则x=a^y。
2、根据指数函数的求导公式,两边x对y求导得:dx/dy=a^y*lna。
3、所以dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)。
4、如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
5、一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
3. 微积分log计算公式?
log函数,也就是对数函数,它的求导公式为y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【特别地,y=lnx,y'=1/x】。
对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。对数函数实际上是指数函数的反函数。
对数函数的求导公式为为y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【特别地,y=lnx,y'=1/x】。
关于导数:
导数,是微积分中的重要基础概念。设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,(x0+Δx)也在该邻域内时,相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。
如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。注意:有的函数是没有导数的。若某函数在某一点存在导数,则称其在这一点可导,否则称为不可导。
4. 对数函数求导公式是怎么样的?
对数函数求导公式是先利用换底公式,logab=lnb/lna,再利用(lnx)导数=1/x,logax=lnx/lna,
其导数为1/(xlna)。
对数函数求导公式是先利用换底公式,logab=lnb/lna,再利用(lnx)导数=1/x,logax=lnx/lna,其导数为1/(xlna)。如果a(a>0,且a≠1)的.b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
5. log以a为底x的对数的导数推导过程?
设lnx=t,则x=e^t
∫lnxdx=∫tde^t=te^t-∫e^tdt=te^t-e^t=xlnx-x
所以∫logaxdx=1/lna*∫lnxdx=(xlnx-x)/lna
导数(Derivative),也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
6. log导数怎样求?
利用定理:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。x=a^y,它的反函数是y=loga(x)(a^y)'=a^y lna(loga(x))'=1/(a^y)'=1/(a^ylna)=1/(xlna)一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。扩展资料:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1。和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。
7. 求对数函数的导数?
对数函数的导数公式
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0
并且,在比较两个函数值时:
如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)
如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0
对数求导法
对数求导法是一种求函数导数的方法。
取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算,可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算,使求导运算计算量大为减少。
对数求导法是先对函数取对数,再利用隐函数求导法求得函数导数的方法. 实际问题中,有的函数对其先取对数以后再求导比直接对函数求导来得方
例求
的导数.
解先对函数两边取对数,得
.
将上式两边对求导,注意是的函数,根据隐函数求导法,有
,
则.
称形如
的函数为幂指函数,如
的函数.对数求导法可用于求幂指函数的导数.
例求
的导数.
解取对数
: 
对x求导:
,
得 
.
例表明,对数求导法可将积商的导数运算转化为和差的导数运算.
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1. 对数函数的导数,数学对数函数求导的推导过程?
用的是极限中的一个结论:x趋近于0时ln(1+x)和x是等价无穷小
。
h趋近于0时,ln(1+h/x)和h/x是等价无穷小。
例如:
对数函数
的推导需要利用反函数
的求导法则
指数函数
的求导,定义法:
f(x)=a^x
f'(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x).........
(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h
=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h
=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]
=1/xIna
实数域
在实数域中,真数
式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数
),底数
则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1,在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)。
2. x为底数的对数函数怎么求导?
x为底数时对数求导公式:
(Inx)'=1/x(ln为自然对数);(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。
对数函数求导的方法
1、利用反函数求导:设y=loga(x)则x=a^y。
2、根据指数函数的求导公式,两边x对y求导得:dx/dy=a^y*lna。
3、所以dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)。
4、如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
5、一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
3. 微积分log计算公式?
log函数,也就是对数函数,它的求导公式为y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【特别地,y=lnx,y'=1/x】。
对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。对数函数实际上是指数函数的反函数。
对数函数的求导公式为为y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【特别地,y=lnx,y'=1/x】。
关于导数:
导数,是微积分中的重要基础概念。设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,(x0+Δx)也在该邻域内时,相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。
如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。注意:有的函数是没有导数的。若某函数在某一点存在导数,则称其在这一点可导,否则称为不可导。
4. 对数函数求导公式是怎么样的?
对数函数求导公式是先利用换底公式,logab=lnb/lna,再利用(lnx)导数=1/x,logax=lnx/lna,
其导数为1/(xlna)。
对数函数求导公式是先利用换底公式,logab=lnb/lna,再利用(lnx)导数=1/x,logax=lnx/lna,其导数为1/(xlna)。如果a(a>0,且a≠1)的.b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
5. log以a为底x的对数的导数推导过程?
设lnx=t,则x=e^t
∫lnxdx=∫tde^t=te^t-∫e^tdt=te^t-e^t=xlnx-x
所以∫logaxdx=1/lna*∫lnxdx=(xlnx-x)/lna
导数(Derivative),也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
6. log导数怎样求?
利用定理:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。x=a^y,它的反函数是y=loga(x)(a^y)'=a^y lna(loga(x))'=1/(a^y)'=1/(a^ylna)=1/(xlna)一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。扩展资料:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1。和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。
7. 求对数函数的导数?
对数函数的导数公式
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0
并且,在比较两个函数值时:
如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)
如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0
对数求导法
对数求导法是一种求函数导数的方法。
取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算,可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算,使求导运算计算量大为减少。
对数求导法是先对函数取对数,再利用隐函数求导法求得函数导数的方法. 实际问题中,有的函数对其先取对数以后再求导比直接对函数求导来得方
例求
的导数.
解先对函数两边取对数,得
.
将上式两边对求导,注意是的函数,根据隐函数求导法,有
,
则.
称形如
的函数为幂指函数,如
的函数.对数求导法可用于求幂指函数的导数.
例求
的导数.
解取对数
: 
对x求导:
,
得 
.
例表明,对数求导法可将积商的导数运算转化为和差的导数运算.
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